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三角函数恒等变换公式|三角函数恒等变换教案(1)

小说大全 | 2019-08-01 | 阅读:
【cz6868.com--小说大全】

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标

理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式大学网的方法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点

1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想:

(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:

cos??????cos?cos??sin?sin?;cos??????cos?cos??sin?sin?.

这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢?

提示:在第一章我们用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,这对我们解决今天的问题有帮助吗?

让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式。

??????????????sin??????cos?????????cos?????????cos????cos??sin????sin?

?2???2??2???2?

?sin?cos??cos?sin?.

sin??????sin???????????sin?cos?????cos?sin?????sin?cos??cos?sin?

学生观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.(学生动手)

tan??????

sin?????sin?cos??cos?sin?

. ?

cos???cos?cos??sin?sin?

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan?、tan?的形式呢?(分式分子、分母同时除以cos?cos?,得到tan??????注意:????

?

2

?k?,??

tan??tan?

1?tan?tan?

?

2

?k?,??

?

2

?k?(k?z)

以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan??????tan???????????

tan??tan????tan??tan?

?

1?tan?tan??1?tan?tan?

?k?,??

注意:????

?

2

?k?,??

?

2

?

2

?k?(k?z).

(二)例题讲解

例1、利用和(差)角公式计算下列各式的值:

27iss2o4c2s7onc24is(1)、n

?

s2oc07socn02ni07sis;(2)、0

?

;(3)、

1n51a?t

1n51a?t

解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.

n274soicsn2427siocsn7i2s240n3is(1)、

???

??

??

??

?

?

??

1

; 2

27socn07n02iisssoc020709soc0?(2)、0;

?

(3)、

151na?tn54at51nat151na?t151n54at

?

??1

5

?n4a5t51?

0n6at?335

??

cos(???)?,求tan??tan?的值. 例2 已知cos(???)?,

例3

xx

解:此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象,但我们能否发现规律呢?

1?

x

?x?2cosxx???

sin30cosx?cos30sinx???30?x??

思考:?正、余弦分别等于和

1

2

的。 小结:本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用。 作业:

32??1???

1、 已知tan??????,tan?求的值.() ???,tan??????

5

?

4?

4

?

4?

22

2、 已知0???

值.

?

4

?????

3????3?3??5

求sin?????的,cos?????,sin?????,

4?4?5?4?13

二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用. 二、教学重、难点

教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式;

教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学 四、教学设想:

(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式,

sin??????sin?cos??cos?sin?;

cos??????cos?cos??sin?sin?;

tan??????

tan??tan?

1?tan?tan?

我们由此能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢?(学生自己动手,把上述公式中?看成?即可), (二)公式推导:

sin2??sin??????sin?cos??cos?sin??2sin?cos?;

cos2??cos??????cos?cos??sin?sin??cos2??sin2?;

思考:把上述关于cos2?的式子能否变成只含有sin?或cos?形式的式子呢?cos2??cos2??sin2??1?sin2??sin2??1?2sin2?;

cos2??cos2??sin2??cos2??(1?cos2?)?2cos2??1.

tan2??tan??????

tan??tan?2tan?

?.

1?tan?tan?1?tan2?

注意:2??

?

2

?k?,??

?

2

?k? ?k?z?

(三)例题讲解 例4、已知sin2??

?

?

4

2

5??

,???,求sin4?,cos4?,tan4?的值. 1342

解:由???,得?2???.

2

512

??又因为sin2?

?,cos2???. 1313?

于是sin4??2sin2?cos2??2?

5?12?120

; ??????

13?13?169

2

120

sin4?120?5?119

;tan4??. ???cos4??1?2sin22??1?2????

cos4?119?13?169

169

?

例5、已知tan2??,求tan?的值. 解:tan2??

2tan?12

?tan??6tan??1?0

,由此得2

1?tan?3

13

解得tan???2

tan???2

(四)小结:本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用。

例6、试以cos?表示sin2,cos2,tan2

2

2

???

2

?1和cos??1?2sin2

解:我们可以通过二倍角cos??2cos2因为cos??1?2sin2因为cos??2cos2

?

2

?

2

?

2

来做此题.

?

2

,可以得到sin2

?

2

?

1?cos?

; 21?cos?

. 2

?

2

?1,可以得到cos2

?

2

?

又因为tan2

?

?1?cos?. 1?cos?cos2

2

sin2

?

思考:代数式变换与三角变换有什么不同?

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角式恒等变换的重要特点. 例7、求证:

sin??????sin??????(1)、sin?cos???; ??2

1

(2)、sin??sin??2sin

???

2

cos

???

2

证明:(1)因为sin?????和sin?????是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手.

sin??????sin?cos??cos?sin?;sin??????sin?cos??cos?sin?.

两式相加得2sin?cos??sin??????sin?????;

sin??????sin??????即sin?cos???; ??2

1

(2)由(1)得sin??????sin??????2sin?cos?①;设?????,?????,

那么??

???

2

,??

???

2

???

2cos

把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin

???

2

思考:在例2证明中用到哪些数学思想?

证明中用到换元思想,(1)式是积化和差的形式,(2)式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式. 例8

、求函数y?sinxx的周期,最大值和最小值.

解:y?sinx

x这种形式我们在前面见过,

?1????y?sinx?x?2?sinxx?2sinx????, ?2?3????

所以,所求的周期T?

2?

?

?2?,最大值为2,最小值为?2.

点评:例3是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使三角函数中对函数

y?Asin??x???的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数式

中的作用.

小结:此节虽只安排一到两个课时的时间,但也是非常重要的内容,我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活运用. 总结: 1.

公式的变形

(1) 升幂公式:1+cos2α=2cos2α 1—cos2α=2sin2α

(3) 正切公式变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ) tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ) (4) 万能公式(用tanα表示其他三角函数值)

2.

插入辅助角公式

3.

熟悉形式的变形(如何变形)

1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx+cotx 1-tanα1

+tanα

1+tanα1-tanα

π

若A、B是锐角,A+B= ,则(1+tanA)(1+tanB)=2

4

4. 在三角形中的结论(如何证明) A+B+Cπ

若:A+B+C=π =

22tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ABBCCA

tan tan +tan+tantan=1 222222

9.求值问题

(1)已知角求值题 如:sin555° (2)已知值求值问题 常用拼角、凑角

π3π35

如:1)已知若cos( -α)=,+β)=

45413 π3ππ

34

2)已知sinα+sinβ= ,cosα+cosβ=,求cos(α-β)的值。

55(3)已知值求角问题

必须分两步:1)求这个角的某一三角函数值。2)确定这个角的范围。 π11

如:.已知tanα= ,tanβ= ,且αβ都是锐角,求证:α+2β=

7341.(2010全国卷1理)(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??

2. 已知0?x?

?

2

,化简:

x?

lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).

22

解析:原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0. 3。(2010天津文)(17)(本小题满分12分)

在?ABC中,

ACcosB

?。 ABcosC

(Ⅰ)证明B=C:

1??

(Ⅱ)若cosA=-,求sin?4B???的值。

3

?

3?

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分12分.

(Ⅰ)证明:在△ABC中,由正弦定理及已知得

sinBcosB

=。于是sinCcosC

sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0。因为???B?C??,从而B-C=0。 所以B=C。

(Ⅱ)解:由A+B+C=?和(Ⅰ)得A=?-2B,故cos2B=-cos(?-2B)=-cosA=。

又0

= 从而

sin4B=2sin2Bcos2B=

?

?

. 3

13

7,cos4B=cos22B?sin22B??.

99

所以sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin

3

3

?

3

?

4.(2010湖北理) 16.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=cos(?x)cos(?x),g(x)?sin2x?

3

3

??

1

214

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

(Ⅱ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合。

5.(2009江苏,15)设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) (1)若a与b?2c垂直,求tan(???)的值; (2)求|b?c|的最大值;

(3)若tan?tan??16,求证:a∥b。

分析 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能

6.(2009安徽卷理)在?ABC中,sin(C?A)?1, sinB=. (I)求sinA的值;

(II)设

?ABC的面积.

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运

1

3

算求解能力。

?B,(Ⅰ)由C?A?,且C?A??∴A??,

∴sniAsni?(11∴sin2A?(1?sinB)?,又sinA?

0,∴sinA?

233

?

2?4B2?BB(cos)422

C

B2

ACBC

?(Ⅱ)如图,由正弦定理得

sinBsinA

A B

∴BC?

ACsinA

?

sinB

3

?sinC?sin(A?B)?sinAcosB?

cosAsinB

?

1

??

33333

1

2

12

?3

∴S?ABC?AC?BC?sinC?7.(2009湖南卷文)已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2). (Ⅰ)若a//b,求tan?的值; (Ⅱ)若|a|?|b|,0????,求?的值。 解:(Ⅰ) 因为a//b,所以2sin??cos??2sin?, 于是4sin??cos?,故tan??.

(Ⅱ)由|a|?|b|知,sin2??(cos??2sin?)2?5, 所以1?2sin2??4sin2??5.

从而?2sin2??2(1?cos2?)?4,即sin2??cos2???1,

于是sin(2??)?4

1

4

?

??9?又由0????知,?2???,

4445??7?

,或2???。 4444

3??

因此??,或??.

42

所以2??

?

?

8.(2009天津卷理)在⊿ABC中,

AC=3,sinC=2sinA (I) 求AB的值:

??

(II) 求sin?2A???的值

?

4?

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分12分。

(Ⅰ)解:在△ABC中,根据正弦定理,于是AB=sinCBC?2BC?2

sinA

5

ABBC

?

sinCsinA

AB2?AC2?BD225

?

2AB?AC5

(Ⅱ)解:在△ABC中,根据余弦定理,得cosA=于是 sinA=从而

?cos2A?

5

sin2A=2sinAcosA=4,cos2A=cos2A-sin2A=3

55

4

4

4

所以 sin(2A-?)=sin2Acos?-cos2Asin?=

?

2

10

??

???

9.(2007安徽)已知0???,?为f(x)?cos?2x???的最小正周期,

?

2cos2??sin2(???)??1??

·b?m.求2),且a b?(cos?,的值. a??tan?????,?1?,

cos??sin?4????

π?

解:因为?为f(x)?cos?2x???的最小正周期,故??π.

?

8?

??·b?m,又a因a·b?cos?·tan??????2.

4

?

?

??

故cos?·tan??????m?2.

4

?

?1

1

由于0???,所以

π4

2cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)

?

cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)?? cos??sin?cos??sin?

?2cos?

1?tan?π??

?2cos?·tan?????2(2?m)

1?tan?4??

m??,n??cosA,sinA?

?

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